Question

（本題17分）已知定義在上的函數(shù)是偶函數(shù)，且時(shí)，，(1)當(dāng)時(shí)，求解析式；(2)寫出的單調(diào)遞增區(qū)間．

 

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，；(2)的單調(diào)遞增區(qū)間是和．

【解析】

試題分析：（1）任取，則，由時(shí)，，得出；利用是偶函數(shù)，知，進(jìn)而求得；

（2）．因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015012206074892655517/SYS201501220608110992274278_DA/SYS201501220608110992274278_DA.011.png">是偶函數(shù)，所以只需求出函數(shù)在上的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系，求出函數(shù)在上的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)在上的單調(diào)性；在判斷函數(shù)在上的單調(diào)性時(shí)，可以用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，也可以用單調(diào)性的定義，也可以用導(dǎo)數(shù)；本題是用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性解答的．

試題解析：（1）任取，則， 2分

∵當(dāng)時(shí)，，∴， 4分

∵函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，∴，

∴，∴當(dāng)時(shí)，； 7分

（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，令，， 9分

則在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，且的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015012206074892655517/SYS201501220608110992274278_DA/SYS201501220608110992274278_DA.031.png">； 11分

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是； 13分

又∵函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是； 15分

綜上可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和． 17分

考點(diǎn)：①函數(shù)的奇偶性；②函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；③利用函數(shù)的奇偶性求解析式；④函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系．