Question

【題目】橢圓E： + =1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)到直線x﹣3y=0的距離為 ，離心率為 ，拋物線G：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)與橢圓E的焦點(diǎn)重合；斜率為k的直線l過G的焦點(diǎn)與E交于A，B，與G交于C，D．
（1）求橢圓E及拋物線G的方程；
（2）是否存在學(xué)常數(shù)λ，使 為常數(shù)，若存在，求λ的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)E、G的公共焦點(diǎn)為F（c，0），由題意得 ， ．

聯(lián)立解得 ．

所以橢圓E： ，拋物線G：y2=8x．

（2）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．

直線l的方程為y=k（x﹣2），與橢圓E的方程聯(lián)立 ，得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0

△=400k4﹣20（5k2+1）（4k2﹣1）=20（k2+1）＞0．

= ．

直線l的方程為y=k（x﹣2），

與拋物線G的方程聯(lián)立 ，得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0．

．

．

= ．

要使 為常數(shù)，則20+ =4，得 ．

故存在 ，使 為常數(shù)．

【解析】（1）由點(diǎn)到直線的距離公式列式求出c的值，結(jié)合土偶眼離心率求出a的值，再由拋物線G：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)與橢圓E的焦點(diǎn)重合即可求得橢圓方程和拋物線方程；（2）依次射出A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，利用根與系數(shù)關(guān)系分別寫出A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，寫出C，D兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，利用弦長公式求出AB和CD的長度，代入 后可求出使 為常數(shù)的λ的值．