Question

【題目】在數(shù)列{an}中， ， ， ，其中n∈N* ．
（1）求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；
（2）設(shè)cn=bnbn+1cosnπ，n∈N* ， 數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn ， 若當(dāng)n∈N*且n為偶數(shù)時(shí)， 恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn ， 試求數(shù)列{S2n﹣Sn}的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ ，

∴ ，

∴數(shù)列{bn}是公差為1的等差數(shù)列

（2）解：由（1）可知， ，故bn=n．

因?yàn)? ，

所以Tn=c1+c2+…+cn= ，

當(dāng)n∈N*且n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m，m∈N*，

則 =b2（﹣b1+b3）+b4（﹣b3+b5）+…+b2m（﹣b2m﹣1+b2m+1）=2（b2+b4+…+b2m）=4（1+2+…+m）= ，

要使 對n∈N*且n為偶數(shù)恒成立，

只要使 對n∈N*且n為偶數(shù)恒成立，

即使 對n為正偶數(shù)恒成立，∵ ，

∴t≥1，故實(shí)數(shù)t的取值范圍是[1，+∞）

（3）解：由（1）得 ，∴ ，∴ ，

∴ ，

設(shè) ，

∴ ，

∴ = ，

∴當(dāng)n=1時(shí)， ，即M1＜M2，

當(dāng)n≥2時(shí)，Mn+1﹣Mn＜0，即M2＞M3＞M4＞…，∴ ，

因此數(shù)列{S2n﹣Sn}的最大值為

【解析】（1）根據(jù)題意，由數(shù)列的遞推關(guān)系式得出bn+1與an的關(guān)系式，由等差數(shù)列的定義分析可得答案，（2）根據(jù)題意求出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn的表達(dá)式，當(dāng)n∈N*且n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m，m∈N*，求出Tn的表達(dá)式，分析可得答案，（3）由（2）的結(jié)論求出S2n、Sn，即可得{S2n﹣Sn}的表達(dá)式，設(shè)M n = S 2 n S n，分析不難得出答案.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題．