Question

若函數(shù)f（x）=x³+ax²-2x+5在區(qū)間（

1

3

，

1

2

）是單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于等于0在（

1

3

，

1

2

）內(nèi)恒成立，分離出參數(shù)a，求出函數(shù)的范圍，得到a的范圍．

解答： 解：∵f（x）=x³+ax²-2x+5，
∴f′（x）=3x²-2ax-2，
∵f（x在區(qū)間（

1

3

，

1

2

）是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴f′（x）=3x²-2ax-2≤0在（

1

3

，

1

2

）上恒成立．
∴即2ax≥3x²+2．
即a≥

3x

2

+

1

x

≥2

3x 2 • 1 x

=

6

，等且僅當(dāng)x=

6

6

取等號(hào)，
所以a≥

6

6

．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[

6

6

，+∞）．
故答案為[

6

6

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，訓(xùn)練了利用分離變量法求參數(shù)的范圍，考查了利基本不等式求函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題