Question

20．在平面直角坐標(biāo)系中，把橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為“整點(diǎn)”，已知四邊形OABC的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0）、A（3，0），B（2，3），C（0，3），點(diǎn)P（x，y）是四邊形OABC內(nèi)部（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)．
（1）如果P（x，y）是“整點(diǎn)”，請(qǐng)寫出所有的整點(diǎn)坐標(biāo)，并求滿足|x-y|＞1的概率；
（2）當(dāng)x，y∈R時(shí)，求|OP|≤2的概率．

Answer 1

分析 （1）作出圖形，能求出所有的整點(diǎn)坐標(biāo)，由此能求出滿足|x-y|＞1的“整點(diǎn)”的概率．
（2）四邊形OABC的面積S=$\frac{15}{2}$，|OP|≤2是一個(gè)半徑為2個(gè)$\frac{1}{4}$個(gè)圓，面積為：$\frac{1}{4}×π×{2}^{2}=π$，由此利用幾何概型能求出|OP|≤2的概率．

解答 解：（1）∵四邊形OABC的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0）、A（3，0），B（2，3），C（0，3），
點(diǎn)P（x，y）是四邊形OABC內(nèi)部（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，
作出圖形，如右圖：
P（x，y）是“整點(diǎn)”，
所有的整點(diǎn)坐標(biāo)有13個(gè)，分別為：
（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），
（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），
滿足|x-y|＞1的“整點(diǎn)”有5個(gè)，分別為：
（0，2），（0，3），（1，3），（2，0），（3，0），
∴滿足|x-y|＞1的概率p₁=$\frac{5}{13}$．
（2）四邊形OABC的面積S=$\frac{1}{2}（BC+OA）×OC$=$\frac{1}{2}（2+3）×3$=$\frac{15}{2}$，
|OP|≤2是一個(gè)半徑為2個(gè)$\frac{1}{4}$個(gè)圓，面積為：$\frac{1}{4}×π×{2}^{2}=π$，
∴由幾何概型得|OP|≤2的概率p₂=$\frac{π}{\frac{15}{2}}$=$\frac{2π}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查古典概型、幾何概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．