Question

數(shù)列{a_n}中a₁=2，an+1=

1

2

(an+

1

an

)，{b_n}中bn • log9

an+1

an-1

=1，n∈N*．
（1）求證：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，并求出其通項公式；
（2）當(dāng)n≥3（n∈N^*）時，證明：

1

4 b1 +(-1)

+

2

4 b2 +(-1)2

+

3

4 b3 +(-1)3

+…+

n

4 bn +(-1)n

＜

37

14

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)bn • log9

an+1

an-1

=1可求得2bn+1 • log9

an+1

an-1

=1，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行判定，最后求出首項，從而求出求出其通項公式；
（2）先求出C_n，然后證

n

2n+(-1)n

＜

n+1

2n

 (n≥3)，討論n的奇偶，利用錯位相消法求和，以及等比數(shù)列求和，即可證得結(jié)論．

解答：證明：（1）由bn+1 • log9

an+1+1

an+1-1

=1⇒bn+1 • log9

1 2 (an+ 1 an )+1

1 2 (an+ 1 an )-1

=1⇒bn+1 • log9(

an+1

an-1

)2=1⇒2bn+1 • log9

an+1

an-1

=1又bn • log9

an+1

an-1

=1∴bn+1=

1

2

bn
又n=1時，b1 • log9

a1+1

a1-1

=1⇒b1=2
∴{b_n}為等比數(shù)列，b₁=2，q=

1

2

，∴bn=2 • (

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2
（2）∵bn=(

1

2

)n-2=4 • (

1

2

)n⇒

4

bn

=

1

( 1 2 )n

=2n∴Cn=

n

4 bn +(-1)n

=

n

2n+(-1)n

先證：

n

2n+(-1)n

＜

n+1

2n

 (n≥3)
當(dāng)n為偶數(shù)時，顯然成立；
當(dāng)n為奇數(shù)時，即證

n

2n-1

＜

n+1

2n

?n • 2n＜n • 2n-n+2n-1?2n＞n+1
而當(dāng)n≥3時，2ⁿ＞n+1顯然也成立，故

n

2n+(-1)n

＜

n+1

2n

  (n≥3)
當(dāng)n≥4時，令T=

4

24+1

+

5

25-1

+

6

26+1

+…+

n

2n+(-1)n

＜

5

24

+

6

25

+

7

26

+…+

n+1

2n

又令A=

5

24

+

6

25

+

7

26

+…+

n+1

2n

①

1

2

A=          

5

25

+

6

26

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

②
①-②：

1

2

A= 

5

24

+

1

25

+

1

26

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

⇒A=

5

23

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n-1

-

n+1

2n

=

5

8

+

1 16 [1-( 1 2 )n-4]

1- 1 2

-

n+1

2n

＜

3

4

∴T＜

3

4

又C1+C2+C3=

1

21-1

+

2

22+1

+

3

23-1

=1+

2

5

+

3

7

=

64

35

∴所證式子左邊＜

64

35

+

3

4

=

369

140

＜

370

140

=

37

14

即

1

4 b1 +(-1)

+

2

4 b2 +(-1)2

+

3

4 b3 +(-1)3

+…+

n

4 bn +(-1)n

＜

37

14

點評：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，同時考查了錯位相消法，以及計算能力，屬于中檔題．