Question

12．（普通中學做）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁+3a₂+5a₃+…+（2n-1）a_n=（n-1）3ⁿ⁺¹+3（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$．

Answer 1

分析 由數(shù)列{a_n}滿足a₁+3a₂+5a₃+…+（2n-1）a_n=（n-1）3ⁿ⁺¹+3，利用迭代法求出${a}_{n}={3}^{n}$．由此能求出數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁+3a₂+5a₃+…+（2n-1）a_n=（n-1）3ⁿ⁺¹+3，（n∈N^*），
∴a₁=3，
a₁+3a₂+5a₃+…+（2n-3）a_n-1=（n-2）3ⁿ+3，（n≥2），
兩式相減得（2n-1）a_n=（2n-1）•3ⁿ，
∴${a}_{n}={3}^{n}$．
∵a₁=3滿足上式，
∴${a}_{n}={3}^{n}$，
S_n=3+3²+3³+…+3ⁿ
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$．
故答案為：$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$．

點評 本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．