Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且∠F₁PF₂=α，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,解三角形,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由雙曲線的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用雙曲線的定義和三角形的余弦定理，化簡(jiǎn)整理，可得PF₁•PF₂=

2b2

1-cosα

，再由三角形的面積公式和二倍角公式以及同角的商數(shù)關(guān)系，計(jì)算即可得到面積．

解答： 解：由雙曲線方程可得F₁（-c，0），F(xiàn)₁ （c，0），
由雙曲線的定義可得，|PF₁-PF₂|=2a，
由余弦定理可得，F(xiàn)₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cosα
=（PF₁-PF₂）²+2PF₁•PF₂（1-cosα）=4a²+2PF₁•PF₂（1-cosα）=4c²，
∴PF₁•PF₂=

2(c2-a2)

1-cosα

=

2b2

1-cosα

．
則△F₁PF₂的面積S=

1

2

PF₁•PF₂sinα=

1

2

•

2b2

1-cosα

•sinα=b²•

2sin α 2 cos α 2

2sin2 α 2

=b²cot

α

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，余弦定理，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，求出PF₁•PF₂的值是解題的關(guān)鍵．