【題目】已知橢圓 （a＞b＞0）的離心率為 ，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線 相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（4，0），M，N是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接PN交橢圓C于另一點(diǎn)E，求直線PN的斜率的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，證明直線ME與x軸相交于定點(diǎn)．

【答案】解：（Ⅰ）由題意知 ，所以 ，即a2=4b2 ， ∴a=2b
又因?yàn)? ，∴a=2，故橢圓C的方程為 ．
（Ⅱ）由題意知直線PN的斜率存在，設(shè)直線PN的方程為y=k（x﹣4）．
由 得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．①
由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+1）（64k2﹣4）＞0，得12k2﹣1＜0，∴
又k=0不合題意，所以直線PN的斜率的取值范圍是： ．
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)N（x1 ， y1），E（x2 ， y2），則M（x1 ， ﹣y1）．
直線ME的方程為 ．令y=0，得 ．
將y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入整理，得 ．②
由①得 ， 代入②整理，得x=1．
所以直線ME與x軸相交于定點(diǎn)（1，0）
【解析】（Ⅰ）由題意知 ，所以a2=4b2 ， 由此可知橢圓C的方程為 ．（Ⅱ）由題意知直線PN的斜率存在，設(shè)直線PN的方程為y=k（x﹣4）．由題設(shè)得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．由此入手可知直線PN的斜率的取值范圍是： ．（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)N（x1 ， y1），E（x2 ， y2），則M（x1 ， ﹣y1）．直線ME的方程為 ．令y=0，得 ．由此入手可知直線ME與x軸相交于定點(diǎn)（1，0）．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線的斜率的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tanα．

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（Ⅲ）對任意的實(shí)數(shù)m∈[0，2]，都存在一個(gè)最大的正數(shù)K（m），使得當(dāng)x∈[0，K（m）]時(shí)，不等式|f（x）|≤2恒成立，求K（m）的最大值以及此時(shí)相應(yīng)的m的值．

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