Question

14．已知a＞0，x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+y≤3}\\{y≥a（x-3）}\end{array}\right.$ 若z=2x+y的最小值與最大值的和為7，則a=（　�。�

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求最大值和最小值，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直線y=-2x+z，
由圖象可知當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)C（3，0）時(shí)，直線y=-2x+z的截距最大，
此時(shí)z最大．此時(shí)最大值為z=6，
直線y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線y=-2x+z的截距最小，
此時(shí)z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=a（x-3）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2a}\end{array}\right.$，即B（1，-2a），
代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=2-2a．
即z=2x+y的最小值與最大值的和為7，
∴6+2-2a=8-2a=7，
即a=$\frac{1}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．