已知正△ABC三個頂點都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，點E是線段AB的中點，過點E作球O的截面，則截面面積的最小值是（　　）
A、
7
4
π
B、2π
C、
9
4
π
D、3π
考點：球的體積和表面積
專題：空間位置關系與距離
分析：設正△ABC的中心為O1，連結(jié)O1A．根據(jù)球的截面圓性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)與勾股定理，而經(jīng)過點E的球O的截面，當截面與OE垂直時截面圓的半徑最小，相應地截面圓的面積有最小值，由此算出截面圓半徑的最小值，從而可得截面面積的最小值．
解答： 解：設正△ABC的中心為O1，連結(jié)O1A
∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三點都在球面上，
∴O1O⊥平面ABC，∵球的半徑R=2，球心O到平面ABC的距離為1，得O1O=1，
∴Rt△O1OA中，O1A=
OA2-OO12
=
3
．
又∵E為BC的中點，△ABC是等邊三角形，∴AE=AO1cos30°=
3
2
．
∵過E作球O的截面，當截面與OE垂直時，截面圓的半徑最小，
∴當截面與OE垂直時，截面圓的面積有最小值．
此時截面圓的半徑r=
3
2
，
可得截面面積為S=πr2=
9π
4
．
故選C．
點評：本題已知球的內(nèi)接正三角形與球心的距離，求經(jīng)過正三角形中點的最小截面圓的面積．著重考查了勾股定理、球的截面圓性質(zhì)與正三角形的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b2+a2=c2+
2
ab，則內(nèi)角C=（　�。�
A、
π
6
B、
π
4
C、
3π
4
D、
π
4
或
3π
4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x（2-x）．
（1）在給定的圖示中畫出函數(shù)f（x）的圖象（不需列表）；
（2）求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）討論方程f（x）-k=0的根的情況．（只需寫出結(jié)果，不要解答過程）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設集合M={x|x=
k
2
+
1
2
，k∈Z}，N={x|x=
k
4
+
1
2
，k∈Z}，則（　　）
A、M=NB、M?N
C、M?ND、M∩N=∅

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A，B是單位圓C上的兩個定點，對任意實數(shù)λ，|
AC
-λ
AB
|有最小值
1
2
，則|
AB
|=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

氣象意義上從春季進入夏季的標志為：“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃”．現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：
①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；
②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體均值為24；
③丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，總體方差為10.8；
則肯定進入夏季的地區(qū)有（　�。�
A、①②③B、①③C、②③D、①

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某項公益活動需要從3名學生會干部和2名非學生會干部中選出3人參加，則所選的3個人中至少有1個是非學生會干部的概率是（　　）
A、
1
10
B、
3
10
C、
3
5
D、
9
10

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax+
x-2
x+1
（a＞1）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）函數(shù)f（x）是否有負零點，若有，請求出負零點；若沒有，請予以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，BD=3，DC=5，∠B=30°，∠ADC═45° 求AC．

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