Question

18．一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正四面體紙盒內(nèi)放一個(gè)正方體，若正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正方體棱長(zhǎng)的最大值為（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 在一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正四面體紙盒內(nèi)放一個(gè)正方體，并且能使正方體在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，說明正方體在正四面體的內(nèi)切球內(nèi)，求出內(nèi)切球的直徑，就是正方體的對(duì)角線的長(zhǎng)，然后求出正方體的棱長(zhǎng)．

解答 解：設(shè)球的半徑為r，由正四面體的體積得：
$4×\frac{1}{3}×r×{6}^{2}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{6}^{2}×\sqrt{{6}^{2}-（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×6）^{2}}$，
解得r=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
設(shè)正方體的最大棱長(zhǎng)為a，
∴3a²=（$\sqrt{6}$）²，解得a=$\sqrt{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題是中檔題，考查正四面體的內(nèi)接球的知識(shí)，球的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力．