Question

9．已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；
（2）從圓C外一點(diǎn)P（x₁，y₁）向該圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|=|PO|，求|PM|的最小值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)截距不為0時(shí)，根據(jù)圓C的切線在x軸和y軸的截距相等，設(shè)出切線方程x+y=a，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到切線的距離d，讓d等于圓的半徑r，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到切線的方程；當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)出切線方程為y=kx，同理列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，得到切線的方程；
（2）根據(jù)圓切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，得到三角形CPM為直角三角形，根據(jù)勾股定理表示出點(diǎn)P的軌跡方程，由軌跡方程得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為一條直線，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，求出原點(diǎn)到P軌跡方程的距離即為|PO|的最小值．

解答 解：（1）∵切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，∴當(dāng)截距不為零時(shí)，設(shè)切線方程為x+y=a，
又∵圓C：（x+1）²+（y-2）²=2，∴圓心C（-1，2）到切線的距離等于圓的半徑$\sqrt{2}$，
即$\frac{|-1+2-a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，解得：a=-1或a=3，
當(dāng)截距為零時(shí)，設(shè)y=kx，同理可得k=2$±\sqrt{6}$，
則所求切線的方程為x+y+1=0或x+y-3=0或y=（2$±\sqrt{6}$）x---------（6分）
（2）∵切線PM與半徑CM垂直，∴|PM|²=|PC|²-|CM|²．
∴（x₁+1）²+（y₁-2）²-2=x₁²+y₁²．∴2x₁-4y₁+3=0．
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是直線2x-4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．
而|PO|的最小值為原點(diǎn)O到直線2x-4y+3=0的距離d=$\frac{3}{\sqrt{4+16}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．--（12分）

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生掌握直線與圓相切時(shí)所滿足的條件，會(huì)根據(jù)條件求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．