【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:x-y-2=0,拋物線C:y2=2px(p>0).

(1)若直線l過拋物線C的焦點(diǎn),求拋物線C的方程;

(2)當(dāng)p=1時(shí),若拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P和Q.求線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】(1);(2)

【解析】試題分析:(1由點(diǎn)在直線上,得,即.,從而可求得拋物線方程;(2當(dāng)時(shí),曲線.設(shè), ,線段的中點(diǎn),由點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,可得直線的斜率為,設(shè)其方程為,由,可得根據(jù)韋達(dá)定理可得的坐標(biāo).

試題解析:(1)拋物線的焦點(diǎn)為

由點(diǎn)在直線上,

,即.

所以拋物線的方程為.

(2)當(dāng)時(shí),曲線.

設(shè) ,線段的中點(diǎn)

因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,所以直線垂直平分線段

于是直線的斜率為-1,設(shè)其方程為,

,消去,

是拋物線的兩相異點(diǎn),得,

從而,

因此,所以

在直線上,所以

所以點(diǎn),此時(shí)滿足式,

故線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.

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