Question

7．已知雙曲線$\frac{y^2}{4}-{x^2}=1$的兩條漸近線分別與拋物線y²=2px（p＞0）的準線交于A，B兩點，O為坐標原點，若△OAB的面積為1，則p的值為（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 求出雙曲線$\frac{y^2}{4}-{x^2}=1$的兩條漸近線方程與拋物線y²=2px（p＞0）的準線方程，進而求出A，B兩點的坐標，再由△AOB的面積為1列出方程，由此方程求出p的值．

解答 解：雙曲線$\frac{y^2}{4}-{x^2}=1$的兩條漸近線方程是y=±2x，
又拋物線y²=2px（p＞0）的準線方程是x=-$\frac{p}{2}$，
故A，B兩點的縱坐標分別是y=±p，
又△AOB的面積為1，∴$\frac{1}{2}•\frac{p}{2}•2p$=1，
∵p＞0，∴得p=$\sqrt{2}$．
故選B．

點評 本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關(guān)鍵是求出雙曲線的漸近線方程，解出A，B兩點的坐標，列出三角形的面積與離心率的關(guān)系．