Question

19．已知點(diǎn)F為橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，直線(xiàn)$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$與橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)M．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$與y軸交于P，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與橢圓E交于兩不同點(diǎn)A，B，若λ|PM|²=|PA|•|PB|，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得a，b與c的關(guān)系，化橢圓方程為$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$，聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，由判別式為0求得c，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得M坐標(biāo)，得到|PM|²，當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，直接由λ|PM|²=|PA|•|PB|求得λ值；當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+2，聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，利用判別式大于0求得k的取值范圍，再由根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合λ|PM|²=|PA|•|PB|，把λ用含有k的表達(dá)式表示，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍可求．

解答 解：（Ⅰ）由題意，得$a=2c，b=\sqrt{3}c$，則橢圓E為：$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}={c^2}\\ \frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1\end{array}\right.$，得x²-2x+4-3c²=0，
∵直線(xiàn)$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$與橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)M，
∴△=4-4（4-3c²）=0，得c²=1，
∴橢圓E的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$M（{1，\frac{3}{2}}）$，
∵直線(xiàn)$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$與y軸交于P（0，2），∴${|{PM}|^2}=\frac{5}{4}$，
當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，$|{PA}|•|{PB}|=（{2+\sqrt{3}}）（{2-\sqrt{3}}）=1$，
由λ|PM|²=|PA|•|PB|，得$λ=\frac{4}{5}$，
當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
依題意得，${x_1}{x_2}=\frac{4}{{3+4{k^2}}}$，且△=48（4k²-1）＞0，
∴$|{PA}||{PB}|=（{1+{k^2}}）{x_1}{x_2}=（{1+{k^2}}）•\frac{4}{{3+4{k^2}}}=1+\frac{1}{{3+4{k^2}}}=\frac{5}{4}λ$，
∴$λ=\frac{4}{5}（{1+\frac{1}{{3+4{k^2}}}}）$，
∵${k^2}＞\frac{1}{4}$，∴$\frac{4}{5}＜λ＜1$，
綜上所述，λ的取值范圍是$[{\frac{4}{5}，1}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“分類(lèi)討論”的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題．