Question

19．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足$|{\overrightarrow{{F_{1}}Q}}$|=2a．點P是線段F₁Q與該橢圓的交點，點T在線段F₂Q上，并且滿足$\overrightarrow{PT}•\overrightarrow{T{F_2}}$=0，$|{\overrightarrow{T{F_2}}}$|≠0．
（1）當(dāng)a=5，b=3時，用點P的橫坐標(biāo)x表示$|{\overrightarrow{{F_1}P}}$|；
（2）求點T的軌跡C的方程；
（3）在點T的軌跡C上，是否存在點M，使△F₁MF₂的面積S=b²？若存在，求出∠F₁MF₂的正切值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），a=5，b=3時，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，F(xiàn)₁（-4，0），由P（x，y）在橢圓上，可得：${y}^{2}=9（1-\frac{{x}^{2}}{25}）$．代入可得$|{\overrightarrow{{F_1}P}}$|=$\sqrt{（x+4）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{4}{5}x+5）^{2}}$，由-5≤x≤5，可知：$\frac{4}{5}x+5$＞0，可得$|\overrightarrow{{F}_{1}P}|$．
（2）設(shè)點T的坐標(biāo)為（x，y），分類討論：當(dāng)$|\overrightarrow{PT}|$=0時，點（a，0）和點（-a，0）在軌跡上，當(dāng)$|\overrightarrow{PT}|$≠0，且$|\overrightarrow{T{F}_{2}}|$≠0時，由$\overrightarrow{PT}•\overrightarrow{T{F_2}}$=0，可得$\overrightarrow{PT}$⊥$\overrightarrow{T{F}_{2}}$．又$|\overrightarrow{PQ}|$=$|\overrightarrow{P{F}_{2}}|$，可得T為線段F₂Q的中點．在△QF₁F₂中，|OT|=$\frac{1}{2}$|F₁Q|=a，即可得出．
（3）C上存在點M（x₀，y₀）使S=b²的充要條件是$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}={a}^{2}}\\{\frac{1}{2}•2c•|{y}_{0}|=^{2}}\end{array}\right.$，可得|y₀|≤a，|y₀|=$\frac{^{2}}{c}$，當(dāng)$a≥\frac{^{2}}{c}$時，存在點M，使S=b²；利用數(shù)量積運算性質(zhì)與三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），a=5，b=3時，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=4，∴F₁（-4，0），由P（x，y）在橢圓上，∴${y}^{2}=9（1-\frac{{x}^{2}}{25}）$．
得$|{\overrightarrow{{F_1}P}}$|=$\sqrt{（x+4）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x+4）^{2}+9（1-\frac{{x}^{2}}{25}）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{4}{5}x+5）^{2}}$，∵-5≤x≤5，可知：$\frac{4}{5}x+5$＞0，∴$|\overrightarrow{{F}_{1}P}|$=$\frac{4}{5}x+5$．
（2）設(shè)點T的坐標(biāo)為（x，y），
當(dāng)$|\overrightarrow{PT}|$=0時，點（a，0）和點（-a，0）在軌跡上，
當(dāng)$|\overrightarrow{PT}|$≠0，且$|\overrightarrow{T{F}_{2}}|$≠0時，由$\overrightarrow{PT}•\overrightarrow{T{F_2}}$=0，可得$\overrightarrow{PT}$⊥$\overrightarrow{T{F}_{2}}$．
又$|\overrightarrow{PQ}|$=$|\overrightarrow{P{F}_{2}}|$，∴T為線段F₂Q的中點．
在△QF₁F₂中，|OT|=$\frac{1}{2}$|F₁Q|=a，∴x²+y²=a²．
綜上所述，點T的軌跡C的方程是：x²+y²=a²．
（3）C上存在點M（x₀，y₀）使S=b²的充要條件是$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}={a}^{2}}\\{\frac{1}{2}•2c•|{y}_{0}|=^{2}}\end{array}\right.$，
可得|y₀|≤a，|y₀|=$\frac{^{2}}{c}$，當(dāng)$a≥\frac{^{2}}{c}$時，存在點M，使S=b²；
當(dāng)$a＜\frac{^{2}}{c}$時，不存在滿足條件的點M．
當(dāng)$a≥\frac{^{2}}{c}$時，$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-c-x₀，-y₀），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（c-x₀，-y₀），
由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=${x}_{0}^{2}$-c²+${y}_{0}^{2}$=a²-c²=b²，
由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=$|\overrightarrow{M{F}_{1}}|$$|\overrightarrow{M{F}_{2}}|$cos∠F₁MF₂，
S=$\frac{1}{2}$$|\overrightarrow{M{F}_{1}}|$$|\overrightarrow{M{F}_{2}}|$sin∠F₁MF₂=b²，
可得：tan∠F₁MF₂=2．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、數(shù)量積運算性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形面積計算公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．