Question

9．設(shè)橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1的離心率e=$\frac{1}{2}$，動點P在橢圓C上，點P到橢圓C的兩個焦點的距離之和是4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若橢圓C₁的方程為$\frac{x^2}{m^2}$+$\frac{y^2}{n^2}$=1（m＞n＞0），橢圓C₂的方程為$\frac{x^2}{m^2}$+$\frac{y^2}{n^2}$=λ（λ＞0，且λ≠1），則稱橢圓C₂是橢圓C₁的λ倍相似橢圓．已知橢圓C₂是橢圓C的3倍相似橢圓．若過橢圓C上動點P的切線l交橢圓C₂于A，B兩點，O為坐標原點，試證明當切線l變化時|PA|=|PB|并研究△OAB面積的變化情況．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的定義可得a=2，再由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，即可得到b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）依題意，求得橢圓C₂方程，討論直線的斜率不存在，得到|PA|=|PB|和面積為定值；當切線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為：y=kx+m，代入橢圓C₂方程，運用韋達定理和中點坐標公式，可得|PA|=|PB|，由弦長公式，和點到直線的距離公式，結(jié)合面積公式，計算即可得到面積為定值．

解答 解：（Ⅰ）依題意，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
由橢圓的定義可得2a=4，即a=2，
即有c=1，b²=a²-c²=3，
則橢圓C方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）橢圓C的3倍相似橢圓C₂的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=3；
①若切線l垂直于x軸，則其方程為：x=±2，解得y=±$\sqrt{6}$，
顯然|PA|=|PB|，|AB|=2$\sqrt{6}$，△OAB面積為$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{6}$=2$\sqrt{6}$；
②若切線l不垂直于x軸，可設(shè)其方程為：y=kx+m．
將y=kx+m代入橢圓C方程，得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（4k²+3-m²）=0，
即m²=4k²+3，
設(shè)A，B兩點的坐標分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），
將y=kx+m代入橢圓C₂的方程，得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-36=0，
此時x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-36}{3+4{k}^{2}}$，
則AB的中點為（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$），即為（-$\frac{4k}{m}$，$\frac{3}{m}$），
代入橢圓C的方程，可得$\frac{16{k}^{2}}{4{m}^{2}}$+$\frac{9}{3{m}^{2}}$=$\frac{4{k}^{2}+3}{{m}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}}{{m}^{2}}$=1，
滿足橢圓方程，則|PA|=|PB|成立；
即有|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{16{m}^{2}-144}{3+4{k}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{3（12{k}^{2}+9-{m}^{2}）}}{3+4{k}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{6}}{|m|}$．
又點O到直線l的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
可得S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|d=2$\sqrt{6}$，
綜上，當切線l變化時，△OAB的面積為定值2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查橢圓的定義和方程及性質(zhì)，主要考查橢圓方程的運用，聯(lián)立直線方程，運用韋達定理及中點坐標公式和弦長公式，考查運算求解能力，屬于中檔題．