Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{x}$），g（x）=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$）．
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）+2g（x）的零點(diǎn)；
（2）求函數(shù)F（x）=[f（x）]²ⁿ-[g（x）]²ⁿ（n∈N^*）的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接由h（x）=f（x）+2g（x）=0求解關(guān)于x的方程得答案；
（2）由F（x）=[f（x）]²ⁿ-[g（x）]²ⁿ=$\frac{1}{{2}^{2n}}[（x+\frac{1}{x}）^{2n}-（x-\frac{1}{x}）^{2n}]$，展開二項(xiàng)式定理，重新組合后利用基本不等式轉(zhuǎn)化，再由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得F（x）的最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{x}$），g（x）=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$），
∴h（x）=f（x）+2g（x）=$\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}+x-\frac{1}{x}=\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}$，
由$\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}=0$，得3x²=1，
∴x=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．
即函數(shù)h（x）=f（x）+2g（x）的零點(diǎn)為：$±\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）F（x）=[f（x）]²ⁿ-[g（x）]²ⁿ=$\frac{1}{{2}^{2n}}[（x+\frac{1}{x}）^{2n}-（x-\frac{1}{x}）^{2n}]$
=$\frac{1}{{2}^{2n}}（2{C}_{2n}^{1}{x}^{2n-2}+2{C}_{2n}^{3}{x}^{2n-6}+…+2{C}_{2n}^{2n-3}{x}^{6-2n}+2{C}_{2n}^{2n-1}{x}^{2-2n}）$
=$\frac{1}{{2}^{2n}}[{C}_{2n}^{1}（{x}^{2n-2}+{x}^{2-2n}）+{C}_{2n}^{3}（{x}^{2n-6}+{x}^{6-2n}）+…+$${C}_{2n}^{2n-3}（{x}^{6-2n}+{x}^{2n-6}）+{C}_{2n}^{2n-1}（{x}^{2-2n}+{x}^{2n-2}）]$
≥$\frac{1}{{2}^{2n}}（2{C}_{2n}^{1}+2{C}_{2n}^{3}+…+2{C}_{2n}^{2n-3}+2{C}_{2n}^{2n-1}）$=$\frac{1}{{2}^{2n}}•2•{2}^{2n-1}=1$．
當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時(shí)等號(hào)成立．
∴函數(shù)F（x）=[f（x）]²ⁿ-[g（x）]²ⁿ（n∈N^*）的最小值為1．

點(diǎn)評 普通考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．