Question

（選做題）在極坐標(biāo)系中，曲線C₁：ρ=2cosθ，曲線C₂：θ=

π

4

，若曲線C₁與曲線C₂交于A、B兩點(diǎn)則AB=

2

．

Answer 1

分析：分別將曲線C₁與曲線C₂的極坐標(biāo)方程化成普通方程，得到曲線C₁是以（1，0）為圓心、半徑為1的圓，而曲線C₂是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線y=x．由直線與圓相交，利用點(diǎn)到直線的距離公式并結(jié)合垂徑定理，可以算出AB的長(zhǎng)．

解答：解：對(duì)于曲線C₁：ρ=2cosθ，兩邊都乘以ρ得：ρ²=2ρcosθ，
∵ρ²=x²+y²，且ρcosθ=x
∴曲線C的普通方程是x²+y²-2x=0，表示以（1，0）為圓心、半徑為1的圓；
對(duì)于曲線C₂：θ=

π

4

，可得它是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為

π

4

的直線，
∴曲線C₂的普通方程為y=x，即x-y=0
因此點(diǎn)（1，0）到直線x-y=0的距離為：d=

|1-0|

2

=

2

2

設(shè)AB長(zhǎng)為m，則有（

1

2

m）²+d²=r²，即

1

4

m²+

1

2

=1，解之得m=

2

（舍負(fù)）
故答案為：

2

點(diǎn)評(píng)：本題以極坐標(biāo)的形式給出圓和直線的方程，叫我們求直線被圓截得的弦長(zhǎng)，著重考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．