【題目】已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=a,且an+1=k(an+an+2)對(duì)任意正整數(shù)n都成立,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.
(1)若,且S2019=2019,求a;
(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使數(shù)列{an}是公比不為1的等比數(shù)列,且任意相鄰三項(xiàng)am,am+1,am+2按某順序排列后成等差數(shù)列,若存在,求出所有k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若,求Sn.
【答案】(1) a=1;(2)存在滿足要求的實(shí)數(shù)k有且僅有一個(gè);(3) Sn=
【解析】
(1)由題意求得首項(xiàng)為1,公差d=a-1,結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式列方程可得a;
(2)假設(shè)存在滿足題意的實(shí)數(shù)k,分類討論可得k;
(3)k=,an+1=(an+an+2),an+2+an+1=(an+1+an),an+3+an+2=(an+2+an+1)=an+1+an,結(jié)合題意分類討論,然后分組求和可得Sn.
解:(1)k=,an+1=(an+an+2),
∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列,
∵a1=1,a2=a,∴公差d=a-1,
∴S2019=2019=2019+×(a-1),解得a=1;
(2)設(shè)數(shù)列{an}是公比不為1的等比數(shù)列,則它的公比q==a,
∴am=am-1,am+1=am,am+2=am+1,任意相鄰三項(xiàng)
am,am+1,am+2按某順序排列后成等差數(shù)列,
①an+1為等差中項(xiàng),則2am+1=am+am+2.
即am-1+am+1=2am,解得a=1,不合題意;
②am為等差中項(xiàng),則2am=am+1+am+2,
即2am-1=am+1+am,化簡(jiǎn)a2+a-2=0,解得a=-2或a=1(舍去);
③若am+2為等差中項(xiàng),則2am+2=am+1+am,
即2am+1=am+am-1,化簡(jiǎn)得:2a2-a-1=0,解得a=;
∴k====.
綜上可得,滿足要求的實(shí)數(shù)k有且僅有一個(gè);
(3)k=,則an+1=(an+an+2),
∴an+2+an+1=(an+1+an),an+3+an+2=(an+2+an+1)=an+1+an,
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),Sn=a1+a2+…+an=(a1+a2)+…+(an-1+an)
=(a1+a2)=(a+1).
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),Sn=a1+(a2+a3)+…+(an-1+an)
=1+(a2+a3)=1+[-(a1+a2)]=1(a+1)(n≥1),
n=1也適合上式,
綜上可得,Sn=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】楊輝三角,是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲,這個(gè)表叫做帕斯卡三角形,帕斯卡(1623-1662)是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表,這是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.如圖所示,在“楊輝三角”中,去除所有為1的項(xiàng),依次構(gòu)成數(shù)列,則此數(shù)列前135項(xiàng)的和為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓,過(guò)點(diǎn)向圓引兩條切線,,切點(diǎn)為,,若點(diǎn)的坐標(biāo)為,則直線的方程為____________;若為直線上一動(dòng)點(diǎn),則直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著電子閱讀的普及,傳統(tǒng)紙質(zhì)媒體遭受到了強(qiáng)烈的沖擊.某雜志社近9年來(lái)的紙質(zhì)廣告收入如下表所示:
根據(jù)這9年的數(shù)據(jù),對(duì)和作線性相關(guān)性檢驗(yàn),求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.243;
根據(jù)后5年的數(shù)據(jù),對(duì)和作線性相關(guān)性檢驗(yàn),求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.984.
(1)如果要用線性回歸方程預(yù)測(cè)該雜志社2019年的紙質(zhì)廣告收入,現(xiàn)在有兩個(gè)方案,
方案一:選取這9年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè),方案二:選取后5年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè).
從實(shí)際生活背景以及線性相關(guān)性檢驗(yàn)的角度分析,你覺(jué)得哪個(gè)方案更合適?
附:相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表:
(2)某購(gòu)物網(wǎng)站同時(shí)銷售某本暢銷書籍的紙質(zhì)版本和電子書,據(jù)統(tǒng)計(jì),在該網(wǎng)站購(gòu)買該書籍的大量讀者中,只購(gòu)買電子書的讀者比例為,紙質(zhì)版本和電子書同時(shí)購(gòu)買的讀者比例為,現(xiàn)用此統(tǒng)計(jì)結(jié)果作為概率,若從上述讀者中隨機(jī)調(diào)查了3位,求購(gòu)買電子書人數(shù)多于只購(gòu)買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù) 的單調(diào)性;
(2)若曲線上存在唯一的點(diǎn),使得曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面命題正確的是( )
A.“”是“”的 充 分不 必 要條件
B.命題“若,則”的 否 定 是“ 存 在,則”.
C.設(shè),則“且”是“”的必要而不充分條件
D.設(shè),則“”是“”的必要 不 充 分 條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)等比數(shù)列滿足,問(wèn): 與數(shù)列的第幾項(xiàng)相等?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,,過(guò)的直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),記與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為.
(1)若,且,求直線的方程;
(2)若、都在正半軸上,求的最小值;
(3)寫出面積的取值范圍與直線條數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.(不需要證明)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過(guò)動(dòng)點(diǎn)的直線交軸與點(diǎn),交于點(diǎn) (在第一象限),且是線段的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于另一點(diǎn),延長(zhǎng)交于點(diǎn).
(ⅰ)設(shè)直線的斜率分別為,證明為定值;
(ⅱ)求直線的斜率的最小值.
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