【題目】楊輝三角,是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲,這個表叫做帕斯卡三角形,帕斯卡(1623-1662)是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的.我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表,這是我國數(shù)學史上的一個偉大成就.如圖所示,在楊輝三角中,去除所有為1的項,依次構成數(shù)列,則此數(shù)列前135項的和為( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

利用n次二項式系數(shù)對應楊輝三角形的第n+1行,然后令x=1得到對應項的系數(shù)和,結合等比數(shù)列和等差數(shù)列的公式進行轉化求解即可.

n次二項式系數(shù)對應楊輝三角形的第n+1行,

例如(x+1)2=x2+2x+1,系數(shù)分別為1,2,1,對應楊輝三角形的第3行,令x=1,就可以求出該行的系數(shù)之和,

第1行為20,第2行為21,第3行為22,以此類推

即每一行數(shù)字和為首項為1,公比為2的等比數(shù)列,

則楊輝三角形的前n項和為Sn2n﹣1,

若去除所有的為1的項,則剩下的每一行的個數(shù)為1,2,3,4,……,可以看成一個首項為1,公差為1的等差數(shù)列,

則Tn,

可得當n=15,在加上第16行的前15項時,所有項的個數(shù)和為135,

由于最右側為2,3,4,5,……,為首項是2公差為1的等差數(shù)列,

則第16行的第16項為17,

則楊輝三角形的前18項的和為S18=218﹣1,

則此數(shù)列前135項的和為S18﹣35﹣17=218﹣53,

故選:A.

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