Question

2．已知a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{n（n+1）}，1≤n≤3}\\{\frac{1}{{2}^{n-1}}，n≥4}\end{array}\right.$．S_n為前n項的和，求（1）$\underset{lim}{n→∞}{a}_{n}$；（2）$\underset{lim}{n→∞}{S}_{n}$．

Answer 1

分析 （1）運用數(shù)列極限公式$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=0；（2）運用等比數(shù)列的求和公式求得S_n，再取極限，即可得到所求值．

解答 解：由a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{n（n+1）}，1≤n≤3}\\{\frac{1}{{2}^{n-1}}．n≥4}\end{array}\right.$，
（1）$\underset{lim}{n→∞}{a}_{n}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=0；
（2）S_n為前n項的和，
即有S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=$\frac{3}{4}$+$\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{2}^{n-3}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
即有$\underset{lim}{n→∞}{S}_{n}$=$\underset{lim}{n→∞}$（1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）
=1-$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=1-0=1．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，考查數(shù)列極限的求法，考查運算能力，屬于中檔題．