Question

16．已知定義在R上的單調(diào)遞增奇函數(shù)f（x），若當(dāng)0≤θ≤$\frac{π}{2}$時(shí)，f（cos²θ+2msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＞-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可得-f（-2m-2）=f（2m+2），利用單調(diào)性可得cos²θ+2msinθ＜2m+2恒成立．利用換元法令t=sinθ∈[0，1]，真理為t²-2mt+2m+1＞0在t∈[0，1]恒成立．對(duì)二次函數(shù)的對(duì)稱軸分別討論，求出區(qū)間內(nèi)的最小值即可．

解答 解：由條件可得：f（cos²θ+2msinθ）＜-f（-2m-2）
由于函數(shù)是定義在R上的單調(diào)遞增奇函數(shù)，
∴cos²θ+2msinθ＜2m+2恒成立．
設(shè)t=sinθ∈[0，1]，
∴t²-2mt+2m+1＞0在t∈[0，1]恒成立．
只要g（t）=t²-2mt+2m+1在[0，1]的最小值大于0即可．
（1）當(dāng)m＜0時(shí)，最小值為g（0）=2m+1＞0，所以可得：0＞m＞-$\frac{1}{2}$
（2）當(dāng)0≤m≤1時(shí)，最小值為g（m）=-m²+2m+1＞0，所以可得：0≤m≤1
（3）當(dāng)m＞1時(shí)，最小值為g（1）=2＞0恒成立，得：m＞1，（13分）
綜之：m＞-$\frac{1}{2}$，
故答案為m＞-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了奇函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，二次函數(shù)閉區(qū)間上最小值的求法．屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．