Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，D為BC中點，
（1）求證：A₁B∥面C₁AD；
（2）求異面直線A₁B與C₁D所成角的余弦值；
（3）求平面ADC₁與平面ABA₁所成銳二面角的正弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明A₁B∥面C₁AD．
（2）由

A1B

=（2，0，-4），

C1D

=（1，-1，-4），能求出直線A₁B與C₁D所成角的余弦值．
（3）求出平面ADC₁的法向量和平面ABA₁的法向量，由此能求出面ADC₁與面ABA₁所成銳二面角的正弦值．

解答： （1）證明：以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
A₁（0，0，4），B（2，0，0），A（0，0，0），C₁（0，2，4），
C（0，2，0），D（1，1，0），

A1B

=（2，0，-4），

AD

=（1，1，0），

AC1

=（0，2，4），
設(shè)平面C₁AD的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AD =x+y=0 n • AC1 =2y+4z=0

，
取y=-2，得

n

=（2，-2，1），
∵

A1B

•

n

=4+0-4=0，A₁B不包含于平面C₁AD，
∴A₁B∥面C₁AD．
（2）解：∵

A1B

=（2，0，-4），

C1D

=（1，-1，-4），
∴cos＜

A1B

，

C1D

＞=

2+0+16

4+16 × 1+1+16

=

3 10

10

，
∴直線A₁B與C₁D所成角的余弦值為

3 10

10

．
（3）∵平面ADC₁的法向量

n

=(2，-2，1)，
平面ABA₁的法向量

m

=（0，1，0），
∴|cos＜

n

，

m

＞|=|

-2

9

|=

2

3

，
設(shè)平面ADC₁與平面ABA₁所成銳二面角為θ，
則cosθ=

2

3

，sinθ=

1- 4 9

=

5

3

，
∴平面ADC₁與平面ABA₁所成銳二面角的正弦值為

5

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與直線所成角的余弦值的求法，考查平面與平面所成的銳二面角的求法，解題時要注意向量法的合理運用．