Question

20．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²-4n-5．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=|a_n|，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=n²-4n-5，可得當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-5，再檢驗當(dāng)n=1時，a₁是否適合上式，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由b_n=|a_n|=|2n-5|，分n=1、n=2、n≥3三類討論，分別求得數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，最后綜合起來即可求．

解答 解：（1）∵S_n=n²-4n-5，
∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-4n-5-[（n-1）²-4（n-1）-5]=2n-5，
又當(dāng)n=1時，a₁=-8不適合上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-8，n=1}\\{2n-5，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）∵b_n=|a_n|，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，
當(dāng)n=1時，b₁=|a₁|=8，T₁=8；
當(dāng)n=2時，b₂=|a₂|=1，T₂=8+1=9；
∵n≥3時，a_n=2n-5≥1＞0，
∴b_n=|a_n|=a_n=2n-5，
∴T_n=8+1+（1+3+…+2n-5）=9+$\frac{[1+（2n-5）]（n-2）}{2}$=（n-2）²+9=n²-4n+13．
綜上，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{8，n=1}\\{9，n=2}\\{{n}^{2}-4n+13，n≥3}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的求和，考查數(shù)列遞推關(guān)系式、分類法求和的運用，突出考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合運用，屬于中檔題．