Question

11．已知函數(shù)$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+2{cos^2}x$．
（1）作出函數(shù)y=f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，并寫(xiě)出其單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時(shí)，求f（x）的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表，描點(diǎn)并用光滑的曲線連接成圖，由圖寫(xiě)出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由（1）中所作的函數(shù)圖象，求出f（x）在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時(shí)的最值．

解答 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+2{cos^2}x$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+cos2x+1
=$\sqrt{3}（{\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x}）+1$
=$\sqrt{3}（{sin2xcos\frac{π}{3}+cos2xsin\frac{π}{3}}）+1$
=$\sqrt{3}sin（{2x+\frac{π}{3}}）+1$，
所以$f（x）=\sqrt{3}sin（{2x+\frac{π}{3}}）+1$，
按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表，得

$2x+\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$-\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
y	1	$1+\sqrt{3}$	1	$1-\sqrt{3}$	1

描點(diǎn)并用光滑的曲線連接起來(lái)，得如下圖：

由圖可知f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$[{kπ+\frac{π}{12}，kπ+\frac{7π}{12}}]，k∈Z$；
（2）由（1）中所作的函數(shù)圖象，可知
當(dāng)$x=\frac{π}{12}$時(shí)，f（x）取得最大值$\sqrt{3}+1$；
當(dāng)$x=\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最小值$-\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角恒等變換與五點(diǎn)法畫(huà)圖問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．