Question

13．給出下列四個(gè)命題：
①命題“任意x∈R，x²≥0”的否定是“存在x₀∈R，x₀²≤0”；
②線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)隨機(jī)變量線性相關(guān)性越強(qiáng)；
③若a，b∈[0，1]，則不等式a²+b²＜$\frac{1}{4}$成立的概率$\frac{π}{4}$；
④函數(shù)y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）上恒為正，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{5}{2}$）．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題進(jìn)行判斷，
②根據(jù)相關(guān)性系數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷，
③根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行判斷，
④根據(jù)不等式恒成立進(jìn)行判斷．

解答 解：①命題“任意x∈R，x²≥0”的否定是“存在x₀∈R，x₀²＜0”，故①錯(cuò)誤；
②根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)r的意義可知，當(dāng)r的絕對(duì)值越接近于1時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量線性相關(guān)性越強(qiáng)，故②正確，
③若a，b∈[0，1]，則不等式a²+b²＜$\frac{1}{4}$成立的概率P=$\frac{\frac{1}{4}×π×（\frac{1}{2}）^{2}}{1×1}$=$\frac{π}{16}$；故③錯(cuò)誤，
④函數(shù)y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）上恒為正，
則log₂（x²-ax+2）＞0，即x²-ax+2＞1，x²-ax+1＞0恒成立，
即a＜x+$\frac{1}{x}$在[2，+∞）上恒成立，
∵當(dāng)x≥2時(shí)，y=x+$\frac{1}{x}$在[2，+∞）上為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=2時(shí)，x+$\frac{1}{x}$取得最小值2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴a＜$\frac{5}{2}$．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{5}{2}$）．故④正確，
故正確的是：②④．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度不大．