Question

15．若定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=f（x+1）．且當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=-x²+1，如果函數(shù)g（x）=f（x）-a|x|恰有8個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為8-2$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），變形得到函數(shù)的周期，由周期性即可求得函數(shù)在某一段上的解析式，代入進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．

解答 解：由f（x+1）=f（x-1），則f（x）=f（x-2），故函數(shù)f（x）為周期為2的周期函數(shù)．
∵函數(shù)g（x）=f（x）-a|x|恰有8個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x）-a|x|=0在（-∞，0）上有四個(gè)解，
即f（x）的圖象（圖中黑色部分）與直線y=a|x|（圖中紅色直線）在（-∞，0）上有4個(gè)交點(diǎn)，
如圖所示：
又當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=-x²+1，
∴當(dāng)直線y=-ax與y=-（x+4）²+1相切時(shí)，即可在（-∞，0）上有4個(gè)交點(diǎn)，
∴x²+（8-a）x+15=0，∴△=（8-a）²-60=0．
∵a＞0，∴a=8-2$\sqrt{15}$．
故答案為：8-2$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的周期性，考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查了學(xué)生靈活分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，是中檔題．