Question

15．若定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x-1）=f（x+1）．且當x∈[-1，0]時，f（x）=-x²+1，如果函數g（x）=f（x）-a|x|恰有8個零點，則實數a的值為8-2$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 由函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），變形得到函數的周期，由周期性即可求得函數在某一段上的解析式，代入進行計算即可得出答案．

解答 解：由f（x+1）=f（x-1），則f（x）=f（x-2），故函數f（x）為周期為2的周期函數．
∵函數g（x）=f（x）-a|x|恰有8個零點，
∴f（x）-a|x|=0在（-∞，0）上有四個解，
即f（x）的圖象（圖中黑色部分）與直線y=a|x|（圖中紅色直線）在（-∞，0）上有4個交點，
如圖所示：
又當x∈[-1，0]時，f（x）=-x²+1，
∴當直線y=-ax與y=-（x+4）²+1相切時，即可在（-∞，0）上有4個交點，
∴x²+（8-a）x+15=0，∴△=（8-a）²-60=0．
∵a＞0，∴a=8-2$\sqrt{15}$．
故答案為：8-2$\sqrt{15}$．

點評 本題考查了函數的周期性，考查了函數奇偶性的性質，考查了學生靈活分析問題和解決問題的能力，是中檔題．