Question

10．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，直線y=$\frac{4}{3}$x與雙曲線相交于A、B兩點．若AF⊥BF，則雙曲線的漸近線方程為y=±2x．

Answer 1

分析 求得雙曲線的右焦點，將直線y=$\frac{4}{3}$x代入雙曲線方程，求得x²=$\frac{9{a}^{2}^{2}}{9^{2}-16{a}^{2}}$，則設(shè)A（x，$\frac{4}{3}x$），B（-x，-$\frac{4}{3}x$），$\overrightarrow{FA}$=（x-c，$\frac{4}{3}x$），$\overrightarrow{FB}$=（-x-c，-$\frac{4}{3}x$），由$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示，求得c²=$\frac{25}{9}$x²，由雙曲線的方程可知：c²=a²+b²，代入即可求得（b²-4a²）（9b²+4a²）=0，則可知b²-4a²=0，即可求得b=2a，根據(jù)雙曲線的漸近線方程可知：y=±$\frac{a}$x=±2x．

解答 解：由題意可知：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）焦點在x軸上，右焦點F（c，0），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，整理得：（9b²-16a²）x²=9a²b²，即x²=$\frac{9{a}^{2}^{2}}{9^{2}-16{a}^{2}}$，
∴A與B關(guān)于原點對稱，設(shè)A（x，$\frac{4}{3}x$），B（-x，-$\frac{4}{3}x$），
$\overrightarrow{FA}$=（x-c，$\frac{4}{3}x$），$\overrightarrow{FB}$=（-x-c，-$\frac{4}{3}x$），
∵AF⊥BF，
∴$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=0，即（x-c）（-x-c）+$\frac{4}{3}x$×（-$\frac{4}{3}x$）=0，
整理得：c²=$\frac{25}{9}$x²，
∴a²+b²=$\frac{25}{9}$×$\frac{9{a}^{2}^{2}}{9^{2}-16{a}^{2}}$，即9b⁴-32a²b²-16a⁴=0，
∴（b²-4a²）（9b²+4a²）=0，
∵a＞0，b＞0，
∴9b²+4a²≠0，
∴b²-4a²=0，
故b=2a，
雙曲線的漸近線方程y=±$\frac{a}$x=±2x，
故答案為：y=±2x．

點評 本題考查雙曲線與直線的位置關(guān)系，向量數(shù)量積的坐標表示，向量垂直的充要條件，雙曲線的漸近線方程，考查計算能力，屬于中檔題．