Question

12．已知函數(shù)f（x）=e^xsinx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果對(duì)于任意的$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，f（x）≥kx恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）+e^xcosx，$x∈[{-\frac{2015π}{2}，\frac{2017π}{2}}]$，過(guò)點(diǎn)$M（{\frac{π-1}{2}，0}）$作函數(shù)F（x）的圖象的所有切線(xiàn)，令各切點(diǎn)的橫坐標(biāo)按從小到大構(gòu)成數(shù)列{x_n}，求數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)之和的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）令g（x）=f（x）-kx，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（x）_min≥0，令h（x）=e^x（sinx+cosx），通過(guò)討論k的范圍求出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，從而確定a的范圍即可；
（3）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線(xiàn)方程，分別令y₁=tanx，${y_2}=2（{x-\frac{π}{2}}）$，得到這兩個(gè)函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn)$（{\frac{π}{2}，0}）$對(duì)稱(chēng)，從而求出數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)之和的值．

解答 解：（1）∵f'（x）=e^x（sinx+cosx）=$\sqrt{2}{e^x}sin（{x+\frac{π}{4}}）$，
∴f（x）的增區(qū)間為$[{2kπ-\frac{π}{4}，2kπ+\frac{3π}{4}}]（{k∈Z}）$；減區(qū)間為$[{2kπ+\frac{3π}{4}，2kπ+\frac{7π}{4}}]（{k∈Z}）$．
（2）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx
要使f（x）≥kx恒成立，只需當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時(shí)，g（x）_min≥0，
∵g'（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx），則h'（x）=2e^xcosx≥0對(duì)$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$恒成立，
∴h（x）在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上是增函數(shù)，則$h（x）∈[{1，{e^{\frac{π}{2}}}}]$，
①當(dāng)k≤1時(shí)，g'（x）≥0恒成立，g（x）在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上為增函數(shù)，
∴g（x）_min=g（0）=0，∴k≤1滿(mǎn)足題意；
②當(dāng)$1＜k＜{e^{\frac{π}{2}}}$時(shí)，g'（x）=0在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上有實(shí)根x₀，h（x）在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上是增函數(shù)，
則當(dāng)x∈[0，x₀）時(shí)，g'（x）＜0，∴g（x₀）＜g（0）=0不符合題意；
③當(dāng)$k≥{e^{\frac{π}{2}}}$時(shí)，g'（x）≤0恒成立，g（x）在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上為減函數(shù)，
∴g（x）＜g（0）=0不符合題意∴k≤1，即k∈（-∞，1]．
（3）∵F（x）=f（x）+e^xcosxe^x（sinx+cosx）∴F'（x）2e^xcosx
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為$（{{x_0}，{e^{x_0}}（{sin{x_0}+cos{x_0}}）}）$，則切線(xiàn)斜率為$F'（{x_0}）=2{e^{x_0}}cos{x_0}$
從而切線(xiàn)方程為$y-{e^{x_0}}（{sin{x_0}+cos{x_0}}）$=$2{e^{x_0}}cos{x_0}（{x-{x_0}}）$，
∴$-{e^{x_0}}（{sin{x_0}+cos{x_0}}）$$2{e^{x_0}}cos{x_0}（{\frac{π-1}{2}-{x_0}}）$$?tan{x_0}=2（{{x_0}-\frac{π}{2}}）$，
令y₁=tanx，${y_2}=2（{x-\frac{π}{2}}）$，這兩個(gè)函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn)$（{\frac{π}{2}，0}）$對(duì)稱(chēng)，
則它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)也關(guān)于$x=\frac{π}{2}$對(duì)稱(chēng)，從而所作的所有切線(xiàn)的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{x_n}的項(xiàng)也關(guān)于$x=\frac{π}{2}$成對(duì)出現(xiàn)，
又在$[{-\frac{2015π}{2}，\frac{2017π}{2}}]$共有1008對(duì)，每對(duì)和為π；
∴S=1008π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化思想以及三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道綜合題．