Question

12．為評估設(shè)備M生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備M生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：

直徑/mm	58	59	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	73	合計
件數(shù)	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100

經(jīng)計算，樣本的平均值μ=65，標(biāo)準(zhǔn)差σ=2.2，以頻率值作為概率的估計值．
（Ⅰ）為證判一臺設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為X，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評判（P表示相就事件睥概率）：①P（μ-σ＜X≤μ+σ）≥0.6826，②P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544，③P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974，評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設(shè)備等級為甲；若僅滿足其中兩個，則等級為乙，若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部都不滿足，則等級為丁，試判定設(shè)備M的性能等級．
（Ⅱ）將直徑小于等于μ-2σ或直徑不大于μ+2σ的零件認(rèn)為是次品，從樣本所含次品中任取2件，則它們的直徑之差不超過1mm的概率是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用條件，可得設(shè)備M的數(shù)據(jù)僅滿足一個不等式，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）確定基本事件，即可求出徑之差不超過1mm的概率．

解答 解：（Ⅰ）P（μ-σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8≥0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94＜0.9544，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=P（58.4＜X≤71.6）=0.98＜0.9974，
因為設(shè)備M的數(shù)據(jù)僅滿足一個不等式，故其性能等級為丙；…（6分）
（Ⅱ）易知樣本中次品共6件，將直徑為58，59，70，71，71，73的次品依次記為A，B，C，D，E，F(xiàn)從中任取2件，共有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF15種可能，而直徑不超過1mm的取法共有AB，CD，CE，4種可能，由古典概型可知P=$\frac{4}{15}$．…（12分）

點評 本題考查概率的計算，考查正態(tài)分布曲線的特點，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．