Question

設(shè)a＞0，f（x）=

ex

a

-

a

ex

是R上的奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）用定義證明：f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由定義在R的奇函數(shù)圖象必過坐標(biāo)原點(diǎn)，可得f（0）=0，代入可構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程可得答案．
（2）設(shè)兩個實(shí)數(shù)數(shù)x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，將f（x₁）與f（x₂）作差變形整理，得f（x₁）＜f（x₂），由此即可證明函數(shù)為減函數(shù)．

解答： 解：（1）若函數(shù)f（x）=

ex

a

-

a

ex

是R上的奇函數(shù)，
則f（0）=

e0

a

-

a

e0

=

1

a

-a=0，
解得a=1．
（2）∵a=1，∴f(x)=ex-

1

ex

設(shè)x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=ex1-

1

ex1

-ex2+

1

ex2

）=ex1-ex2+

1

ex2

-

1

ex1

=ex1-ex2+

ex1-ex2

ex1ex2

=（ex1-ex2 ）（1+

1

ex1ex2

），
∵x₁＜x₂，∴ex1＜ex2，∴ex1-ex2＜0，∵1+

1

ex1ex2

＞0，
∴（ex1-ex2 ）（1+

1

ex1ex2

）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查了用定義證明函數(shù)單調(diào)性的知識，熟練掌握奇函數(shù)的特性：定義在R的奇函數(shù)圖象必過坐標(biāo)原點(diǎn)，是解答的關(guān)鍵．