Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R﹚．
（1）|f﹙1﹚|≤|f﹙-1﹚|≤

1

4

成立，求b²+c²的取值范圍；  
（2）若f（x）在區(qū)間（0，1）上有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：c²+﹙1+b﹚c≤

1

16

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用,不等式的證明

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）畫出滿足|f﹙1﹚|≤|f﹙-1﹚|≤

1

4

的可行域，結(jié)合b²+c²的幾何意義，可得b²+c²的取值范圍．
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上有兩個(gè)零點(diǎn)，為x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜1），即f（0）=c=x₁x₂＞0，f（1）=1+b+c=（1-x₁）（1-x₂）＞0，進(jìn)而結(jié)合基本不等式可得c²+﹙1+b﹚c≤

1

16

．

解答： 解：（1）∵|f﹙1﹚|≤|f﹙-1﹚|≤

1

4

，
∴|1+b+c|≤|1-b+c|≤

1

4

，
即

b(1+c)≤0 - 1 4 ≤1-b+c≤ 1 4

，
滿足約束條件的可行域如下圖所示：

又∵b²+c²表示動(dòng)點(diǎn)（b，c）到原點(diǎn)距離的平方，
由圖可知：當(dāng)b=0，c=-

3

4

時(shí)，b²+c²取最小值

9

16

，
當(dāng)b=0，c=-

5

4

時(shí)，b²+c²取最大值

25

16

，
故b²+c²的取值范圍為[

9

16

，

25

16

]
證明：（2）f（x）=x²+bx+c的兩個(gè)零點(diǎn)為x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜1），
則f（x）=（x-x₁）（x-x₂）．
又f（0）=c=x₁x₂＞0，f（1）=1+b+c=（1-x₁）（1-x₂）＞0
∴c（1+b+c）=f（0）f（1），
而0＜f（0）f（1）=x₁x₂（1-x₁）（1-x₂）≤

1

16

，
即c（1+b+c）=c²+﹙1+b﹚c≤

1

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，不等式的證明，是基本不等式，線性規(guī)劃與不等式證明的綜合應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，屬于難題．