Question

已知向量

m

=（sinωx+cosωx，

3

cosωx），

n

=（cosωx-2sinωx），（其中ω＞0），函數(shù)f（x）=

m

•

n

，若f（x）相鄰兩對稱軸間的距離為

π

2

．
（1）求ω的值，并求f（x）的最大值；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C所對的邊，△ABC的面積S=5

3

，b=4，f（A）=1，求邊a的長．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）根據(jù)二倍角公式和和差角公式（輔助角公式），化簡函數(shù)解析式為正弦型函數(shù)的形式，進(jìn)而結(jié)合f（x）相鄰兩對稱軸間的距離為

π

2

，可得f（x）的最小正周期，求出ω的值，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到f（x）的最大值；
（2）由f（A）=1，可得A的大小，結(jié)合△ABC的面積S=5

3

，可得c值，進(jìn)而由余弦定理可得邊a的長．

解答： 解：（1）∵f(x)=cos2ωx-sin2ωx+2

3

sinωxcosωx=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin(2ωx+

π

6

)…（3分）
由題意得T=π，
又∵ω＞0，
∴ω=1，
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)…（4分）
當(dāng)sin(2x+

π

6

)=1時(shí)，f（x）有最大值為2；…（6分）
（2）∵f(A)=2sin(2A+

π

6

)=1，
∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

，
∵0＜A＜π…（7分）
∴2A+

π

6

=

5π

6

，
∴A=

π

3

…（8分）
S=

1

2

bcsin

π

3

=5

3

，c=5…（9分）
由余弦定理得：a²=16+25-2×4×5cos

π

3

=21，
∴a=

21

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，余弦定理，三角形面積公式，是三角函數(shù)與向量的綜合應(yīng)用，難度中檔．