Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（II）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值及最小值．

Answer 1

分析：把函數(shù)解析式的前兩項利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，
（Ⅰ）找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函數(shù)的最小正周期；
（II）由x的范圍，得到這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到正弦函數(shù)的值域，可得出函數(shù)的最大值及最小值．

解答：解：函數(shù)f(x)=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x+1=sin（2x-

π

3

）+1，
（Ⅰ）∵ω=2，
∴T=

2π

2

=π；
（II）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x∈[0，π]，
∴2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2

3

π]，
∴sin(2x-

π

3

)∈[-

3

2

，1]，
則f（x）的最大值為2，最小值為-

3

2

+1．

點評：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式互為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．