Question

設(shè)數(shù)列的前項和為，已知(n∈N*)．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）求證：當(dāng)x>0時，
（Ⅲ）令，數(shù)列的前項和為．利用（2）的結(jié)論證明：當(dāng)n∈N*且n≥2時，.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）參考解析；（Ⅲ）參考解析

試題分析：（Ⅰ）由數(shù)列的求和與通項的等式，遞推一個等式兩式相減可得到一個的，的一個一節(jié)遞推式（）.將等式的兩邊同除以，即可得到是一個等差數(shù)列，再通過求出的通項，即可得到的通項式.最后檢驗一下n=1時即可.
（Ⅱ）不等式的證明通過轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的值在大于零恒成立即可.通過求導(dǎo)可得導(dǎo)函數(shù)恒大于零.所以原函數(shù)在上遞增.函數(shù)的最小值是大于零.
（Ⅲ）由（Ⅰ）得到的數(shù)列可得的通項.由于通項中存在的形式.所以奇偶項的符號不一樣.通過整理轉(zhuǎn)化為.結(jié)合（Ⅱ）得到的結(jié)論令.可得.這樣就把分?jǐn)?shù)和的形式改為對數(shù)的和的形式即可.
試題解析：（1）由，得（）         2分
兩式相減，得，即（）
于是，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列    ..       .3分
又，所以.
所以，故.               .5分
（2）令，則，7分
∴在時單調(diào)遞增，，即當(dāng)時， .9分
（3）因為，則當(dāng)n≥2時，

.                    11分
下面證
令，由（2）可得，所以
，， ，
以上個式相加，即有
∴              14分