Question

5．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所圍成的四邊形的正方形，且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為$\sqrt{2}$+1．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓的左焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，并且線段AB的中點(diǎn)在直線x+y=0上，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1））設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a+c=\sqrt{2}+1}\\{a=\sqrt{2}c}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a，b，c即可得出．
（2）由題意可知直線AB斜率存在，設(shè)為k，且設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)（-1，0）．設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+1），與橢圓方程聯(lián)立化為：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．設(shè)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)M（x₀，y₀），利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式代入直線直方程x+y=0解出k．

解答 解：（1））設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a+c=\sqrt{2}+1}\\{a=\sqrt{2}c}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）由題意可知直線AB斜率存在，設(shè)為k，且設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)（-1，0）．
設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+1），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化為：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
設(shè)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)M（x₀，y₀），
則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2k}{2}$=$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$．
∵線段AB的中點(diǎn)在直線方程x+y=0上，
∴-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=0，化為2k²-k=0，解得k=0或k=$\frac{1}{2}$．
∴直線AB的方程為：y=0或y=$\frac{1}{2}$（x+1），即y=0或x-2y+1=0．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．