Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓過(guò)M（1，），N（-，）兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓上是否存在點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)A（a，0）（其中0＜a＜3）的距離的最小值為1，若存在，求出a的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)給予證明．

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，且m≠n）
∵橢圓過(guò)M，N兩點(diǎn)
∴?，即橢圓方程為+=1．
（2）設(shè)存在點(diǎn)P（x，y）滿足題設(shè)條件，由+=1，得y²=4（1-）
∴|AP|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+4（1-）=（x-a）²+4-a²（|x|≤3），
當(dāng)||≤3即0＜a≤時(shí)，|AP|²的最小值為4-a²
∴4-a²=1?a=±∉（0，]
∴a＞3即＜a＜3，此時(shí)當(dāng)x=3時(shí)，|AP|²的最小值為（3-a）²
∴（3-a）²=1，即a=2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，0）
故當(dāng)a=2時(shí)，存在這樣的點(diǎn)P滿足條件，P點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0）．
分析：（1）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，且m≠n），由橢圓過(guò)M，N兩點(diǎn)得，求出m，n后就得到橢圓的方程．
（2）設(shè)存在點(diǎn)P（x，y）滿足題設(shè)條件，由+=1，得y²=4（1-），結(jié)合題設(shè)條件能夠推導(dǎo)出|AP|²=（x-a）²+4-a²（|x|≤3），由此可以求出a的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查橢圓的直線的位置關(guān)系，在解題時(shí)要注意培養(yǎng)計(jì)算能力和靈活運(yùn)用公式的能力．