Question

8．實數(shù)x、y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥3}\\{x≤2}\\{y≤2}\end{array}\right.$ 則函數(shù)z=$\frac{x+y}{3x-y}$的值域為[$\frac{3}{5}，3$]．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，把z=$\frac{x+y}{3x-y}$分子分母同時除以x，轉(zhuǎn)化為z=$\frac{1+\frac{y}{x}}{3-\frac{y}{x}}$，令t=$\frac{y}{x}$，由可行域求出t的范圍，則答案可求．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥3}\\{x≤2}\\{y≤2}\end{array}\right.$ 作出可行域如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y=3}\end{array}\right.$，解得A（2，1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x+y=3}\end{array}\right.$，解得B（1，2），
∴${k}_{OA}=\frac{1}{2}，{k}_{OB}=2$．
則z=$\frac{x+y}{3x-y}$=$\frac{1+\frac{y}{x}}{3-\frac{y}{x}}$，令t=$\frac{y}{x}$，則t∈[$\frac{1}{2}$，2]．
則z=$\frac{t+1}{3-t}=-\frac{t-3+4}{t-3}=-1-\frac{4}{t-3}$．
∵t∈[$\frac{1}{2}$，2]，∴t-3∈[-$\frac{5}{2}，-1$]，
則z∈[$\frac{3}{5}，3$]．
故答案為：[$\frac{3}{5}，3$]．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．