Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-2，1），$\overrightarrow$=（1，-1），$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$，$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$．
（1）若$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{a}$，求k的值；
（2）當(dāng)k=2時(shí)，求$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$夾角的余弦值．

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出$\overrightarrow{m}$和$\overrightarrow{n}$，（1）利用$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{a}$=0，列出方程求出k的值；
（2）利用數(shù)量積公式求出$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$夾角的余弦值．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（-2，1），$\overrightarrow$=（1，-1），
∴$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$=（1，-2），$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$=（-2-k，1+k）；
（1）$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{a}$=-2（-2-k）+（1+k）=0，
解得k=-$\frac{5}{3}$；
（2）當(dāng)k=2時(shí)，$\overrightarrow{n}$=（-4，3），
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1×（-4）-2×3=-10，
且|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{n}$|=5；
∴$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$夾角的余弦值為
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|×|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算問題，也考查了向量垂直與夾角的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題目．