【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓.

求橢圓的方程;

已知為平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn),過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),求四邊形面積的最大值.

【答案】(1)(2)6

【解析】試題分析:(1)由橢圓定義得到動(dòng)圓圓心的軌跡的方程;(2)設(shè)的方程為,聯(lián)立可得,通過根與系數(shù)的關(guān)系表示弦長(zhǎng)進(jìn)而得到四邊形面積的表達(dá)式,利用換元法及均值不等式求最值即可.

試題解析:

解:可得,,又因?yàn)?/span>,所以.

所以橢圓方程為,又因?yàn)?/span>在橢圓上,所以.

所以,所以,故橢圓方程為.

方法一:設(shè)的方程為,聯(lián)立,

消去,設(shè)點(diǎn)

,

所以

,由

函數(shù),

故函數(shù),在上單調(diào)遞增

,故

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,

四邊形面積的最大值為.

方法二:設(shè)的方程為,聯(lián)立,

消去,設(shè)點(diǎn)

,

點(diǎn)到直線的距離為,

點(diǎn)到直線的距離為,

從而四邊形的面積

,

,

函數(shù)

故函數(shù),在上單調(diào)遞增,

,故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,四邊形面積的最大值為.

方法三:①當(dāng)的斜率不存在時(shí),

此時(shí),四邊形的面積為.

當(dāng)的斜率存在時(shí),設(shè)為:

,

,

四邊形的面積

,

,

,

綜上,四邊形面積的最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知圓O,直線l

若直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A、B,當(dāng)為銳角時(shí),求k的取值范圍;

P是直線l上的動(dòng)點(diǎn),過P作圓O的兩條切線PCPD,切點(diǎn)為CD,則直線CD是否過定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn),并說明理由.

EF、GH為圓O的兩條相互垂直的弦,垂足為,求四邊形EGFH的面積的最大值.

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③平面ACD⊥平面ABC

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【題目】如圖,正方體的棱長(zhǎng)為2、分別為棱、上的點(diǎn),且與頂點(diǎn)不重合.

1)若直線相交于點(diǎn),求證:、三點(diǎn)共線;

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(ⅰ)求證:幾何體為棱臺(tái);

(ⅱ)求棱臺(tái)的體積.

(附:棱臺(tái)的體積公式,其中、分別為棱臺(tái)上下底面積,為棱臺(tái)的高)

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)證明MN∥平面PAB;

)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

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【題目】某音樂院校舉行“校園之星”評(píng)選活動(dòng),評(píng)委由本校全體學(xué)生組成,對(duì)兩位選手,隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)學(xué)生的評(píng)分,得到下面的莖葉圖:

所得分?jǐn)?shù)

低于60分

60分到79分

不低于80分

分流方向

淘汰出局

復(fù)賽待選

直接晉級(jí)

(1)通過莖葉圖比較兩位選手所得分?jǐn)?shù)的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值,得出結(jié)論即可);

(2)舉辦方將會(huì)根據(jù)評(píng)分結(jié)果對(duì)選手進(jìn)行三向分流,根據(jù)所得分?jǐn)?shù),估計(jì)兩位選手中哪位選手直接晉級(jí)的概率更大,并說明理由.

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【題目】2020年是中國(guó)傳統(tǒng)的農(nóng)歷鼠年,有人用3個(gè)圓構(gòu)成卡通鼠的形象,如圖:是圓Q的圓心,圓Q過坐標(biāo)原點(diǎn)O;點(diǎn)L、S均在x軸上,圓L與圓S的半徑都等于2,圓S、圓L均與圓Q外切.已知直線l過點(diǎn)O.

1)若直線l與圓L、圓S均相切,則l截圓Q所得弦長(zhǎng)為__________

2)若直線l截圓L、圓S、圓Q所得弦長(zhǎng)均等于d,則__________.

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