Question

16．已知f（x）=log₄（4^x+1）+kx，k∈R的圖象關(guān)于y軸對稱．
（1）求實數(shù)k的值；
（2）若關(guān)于x的方程log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+a無實根，求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)h（x）=4${\;}^{f（x）+\frac{1}{2}x}$+m•2^x-1，x∈[0，log₂3]，是否存在實數(shù)m，使得h（x）最小值為0？若存在求出m值，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（2）由（1）中結(jié)論，可以得到函數(shù)的解析式，構(gòu)造函數(shù)y=log₄（4^x+1）-x，分析出函數(shù)的單調(diào)性及值域，根據(jù)函數(shù)零點的判定方法，我們易確定b取不同值時，函數(shù)零點個數(shù)，進(jìn)而得到答案．
（3）問題轉(zhuǎn)化為y=t²+mt在t∈[1，3]上最小值為0，分類討論，即可求出m的值．

解答 解：（1）∵f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）的圖象關(guān)于y軸對稱．
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
∴f（-x）=f（x）
即log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx
即log₄（4^x+1）-（k+1）x=log₄（4^x+1）+kx
即2k+1=0
∴k=-$\frac{1}{2}$；
證明：（2）由（1）得f（x）=log₄（4^x+1）=-$\frac{1}{2}$x，
令y=log₄（4^x+1）-x-a
由于y=log₄（4^x+1）-x-a為減函數(shù)，且恒為正，
故當(dāng)a＞0時，y=log₄（4^x+1）-x-a有唯一的零點，
此時函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=$\frac{1}{2}$x+a有一個交點，
當(dāng)a≤0時，y=log₄（4^x+1）-x-a沒有零點，
此時函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=$\frac{1}{2}$x+a沒有交點，
綜上所述，a≤0時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=$\frac{1}{2}$x+a沒有交點；
（3）h（x）=4${\;}^{f（x）+\frac{1}{2}x}$+m•2^x-1=4^x+m-2^x，x∈[0，log₂3]
設(shè)t=2^x，則t∈[1，3]
∴y=t²+mt在t∈[1，3]上最小值為0
又∵y=（t+$\frac{m}{2}$）²-$\frac{{m}^{2}}{4}$，t∈[1，3]，
當(dāng)-$\frac{m}{2}$≤1 即m≥-2時，t=1時y_min=m+1=0，
∴m=-1，符合，
 當(dāng)-1＜-$\frac{m}{2}$＜3 即-6＜m＜-2時，t=-$\frac{m}{2}$時，y_min=-$\frac{{m}^{2}}{4}$=0
∴m=0    不符合
當(dāng)-$\frac{m}{2}$≥3 即m≤-6時，t=3時，y_min=9+3m=0，
∴m=-3，符合，
綜上所述m的值為-3，-1．

點評 本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，以及對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想，由于綜合考查了多個函數(shù)的難點，屬于難題．