Question

一個(gè)袋中裝有黑球，白球和紅球共n（n∈N^* ）個(gè)，這些球除顏色外完全相同．已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是．現(xiàn)從袋中任意摸出2個(gè)球．
（1）若n=15，且摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率是，那么
①分別求袋中裝有的黑球、白球和紅球的個(gè)數(shù)；
②設(shè)ξ 表示摸出的2個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量ξ 的概率分布及數(shù)學(xué)期望Eξ；
（2）當(dāng)n取何值時(shí)，摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)黑球的概率最大，最大概率為多少？

Answer 1

解：（1）①由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，
設(shè)袋中黑球的個(gè)數(shù)為x 個(gè)，記“從袋中任意摸出一個(gè)球，得到黑球”為事件A，
則
∴x=6．
設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為y （個(gè)），記“從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少得到一個(gè)白球”為事件B，
則
∴y²-29y+120=0，∴y=5 或y=24 （舍）．
即白球個(gè)數(shù)為5個(gè)．
∴紅球的個(gè)數(shù)為15-6-5=4 （個(gè)）．
綜上，袋中裝有的黑球、白球和紅球的個(gè)數(shù)分別為6，5，4．
②由①知：隨機(jī)變量ξ 的取值為0，1，2，
分布列是

ξ	0	1	2
P

∴ξ 的數(shù)學(xué)期望．
（2）設(shè)袋中有黑球z 個(gè)，則，…）
設(shè)“從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少得到一個(gè)黑球”為事件C，
則，
當(dāng)n=5 時(shí)，P（C） 最大，最大值為．
分析：（1）①本題是一個(gè)等可能事件的概率，設(shè)出袋中黑球的個(gè)數(shù)為x 個(gè)，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)是15，表示出概率，解方程即可．
②由①知隨機(jī)變量ξ 的取值為0，1，2，結(jié)合第一問(wèn)做出的結(jié)果，寫(xiě)出變量的分布列和期望值．
（2）摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)黑球的概率最大，需要表示出從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少得到一個(gè)黑球的概率，整理出關(guān)于n的表示式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于求最值的問(wèn)題，要先表示出所求的量的表示式，在根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最值．