Question

16．若點(diǎn) P（1，2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線y²=2px（p＞0）上的不同的三個(gè)點(diǎn)，直線AP，BP的斜率分別是k₁，k₂，若k₁+k₂=0．
（1）求拋物線的方程；
（2）求y₁+y₂的值及直線AB的斜率k．

Answer 1

分析 （1）把P的坐標(biāo)代入拋物線方程求得p，則拋物線方程可求；
（2）分別設(shè)出直線PA、PB的方程，和拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出A，B的縱坐標(biāo)，作和得答案；再由斜率公式求出AB的斜率，整體代入y₁+y₂的值求得直線AB的斜率k．

解答 解：（1）∵P（1，2）在拋物線y²=2px（p＞0）上，
∴2²=2p，即p=2，
∴拋物線方程為y²=4x；
（2）由題意設(shè)PA所在直線方程為y-2=k（x-1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得ky²-4y-4k+8=0．
∴${y}_{1}+2=\frac{4}{k}$，得${y}_{1}=\frac{4}{k}-2$．
設(shè)PB所在直線方程為y-2=-k（x-1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-k（x-1）+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得ky²+4y-4k-8=0．
∴${y}_{2}+2=-\frac{4}{k}$，得${y}_{2}=-\frac{4}{k}-2$．
∴y₁+y₂=-4；
${k}_{AB}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{4}}=\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}=\frac{4}{-4}=-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程，考查了直線與拋物線的關(guān)系，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法和整體運(yùn)算思想方法，是中檔題．