Question

已知過拋物線y²=6x焦點的弦長為12，則此弦所在直線的傾斜角是

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先根據(jù)拋物線方程，求得焦點坐標(biāo)為F（ 

3

2

，0），從而設(shè)所求直線方程為y=k（x-

3

2

）．再將所得方程與拋物線y²=6x消去y，得k²x²-（3k²+6）x+

9

4

k²=0，利用一元二次根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁+x₂=

3k2+6

k2

，最后結(jié)合直線過拋物線y²=6x焦點截得弦長為12，得到x₁+x₂+3=12，所以

3k2+6

k2

=9，解之得k²=1，得到直線的傾斜角．

解答： 解：∵拋物線方程是y²=6x，
∴2p=6，可得

p

2

=

3

2

，焦點坐標(biāo)為F（

3

2

，0）
設(shè)所求直線方程為y=k（x-

3

2

），
與拋物線y²=6x消去y，得k²x²-（3k²+6）x+

9

4

k²=0
設(shè)直線交拋物線與A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁+x₂=

3k2+6

k2

，
∵直線過拋物線y²=6x焦點，交拋物線得弦長為12，
∴x₁+x₂+3=12，可得x₁+x₂=9，
因此，

3k2+6

k2

=9，解之得k²=1，
∴k=tanα=±1，結(jié)合α∈[0，π），可得α=

π

4

或

3π

4

．
故答案為：

π

4

或

3π

4

．

點評：本題給出已知方程的拋物線焦點弦長為12，求這條弦所在直線的傾斜角，著重考查了直線傾斜角、拋物線的基本概念和直線與拋物線的位置關(guān)系等知識點，屬于中檔題．