Question

在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為A₁C₁的中點
（1）求AB₁與平面ACC₁A₁所成的角；
（2）求二面角B₁-A₁E-A的大小．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（1）以D為原點，建立空間直角坐標系D-xyz，利用向量法能求出AB₁與平面ACC₁A₁所成的角．
（2）分別求出平面A₁EA的法向量和平面A₁B₁E的法向量，利用向量法能求出二面角B₁-A₁E-A的大小為90°．

解答： 解：（1）以D為原點，建立空間直角坐標系D-xyz，
A（a，0，0），C（0，a，0），A1 （a，0，a），B₁（a，a，a），

AA1

=（0，0，a），

AC

=（-a，a，0），

AB1

=（0，a，a），
設(shè)平面ACC₁A₁的法向量

n

=（x，y，z），
則

AA1 • n =az=0 AC • n =-ax+ay=0

，
取x=1，得

n

=(1，1，0)，
設(shè)AB₁與平面ACC₁A₁所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

AB1

，

n

＞|=|

a

2 • 2 a

|=

1

2

，
∴AB₁與平面ACC₁A₁所成的角為30°．
（2）E（

1

2

a，

1

2

a，a），

AA1

=（0，0，a），

AE

=（-

1

2

a，

1

2

a，a），
設(shè)平面A₁EA的法向量

m

=（x₁，y₁，z₁），
則

AA1 • m =cz1=0 AE • m =- 1 2 ax1+ 1 2 ay1+az1=0

，
取x₁=1，得

m

=（1，1，0），
又平面A₁B₁E的法向量

p

=（0，0，1），
cos＜

m

，

p

＞=

0

2

=0，
∴二面角B₁-A₁E-A的大小為90°．

點評：本題考查直線與平面所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．