Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+2在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增
（1）求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a取最小值時(shí)，求y=x³過點(diǎn)P（-a，0）的切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a取最小值時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求y=x³過點(diǎn)P（-a，0）的切線方程．

解答： 解：（1）求導(dǎo)得：f′（x）=2x+a，因?yàn)閒（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x≥1時(shí)，
f′（x）≥0恒成立，即a≥-2x，只要a≥（-2x）_max=-2即可．
所以a的取值范圍是：a≥-2．（或者由二次函數(shù)性質(zhì)得出也可）
（2）由（1）知a的最小值為-2，設(shè)f（x）上一點(diǎn)Q（x₁，y₁），f（x）在Q處的切線的斜率為3x₁²，其切線y-x₁²=3x₁²（x-x₁）經(jīng)過點(diǎn)P（2，0），
所以0-x₁²=3x₁²（2-x₁），解得：x₁=0或x₁=3
分別代入切線方程得過P點(diǎn)的切線方程為：y=27x-54或y=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用以及利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義．