6．如圖，已知銳角△ABC的面積為1，正方形DEFG是△ABC的一個(gè)內(nèi)接三角形，
DG∥BC，求正方形DEFG面積的最大值．

分析 過點(diǎn)A作AN⊥BC交DG于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，設(shè)AN=h，DE=x=MN=DG，根據(jù)DG∥BC，再由△ADG∽△ABC即可求出x的表達(dá)式，由根的判別式可得${x^2}≤\frac{1}{2}$，即可求正方形DEFG面積的最大值．

解答 解：過點(diǎn)A作AN⊥BC交DG于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，
設(shè)AN=h，DE=x=MN=DG，
∴$\frac{1}{2}$BC•h=1，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，故$\frac{DG}{BC}=\frac{AM}{AN}$，即$\frac{x}{\frac{2}{h}}=\frac{h-x}{h}$，
∴h2x-2h+2x=0，
由根的判別式可得${x^2}≤\frac{1}{2}$，即正方形最大面積為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

8．設(shè)函數(shù)$f（x）=2x+\frac{1}{x}-1（x＞0）$，則f（x）（　�。�
A．有最小值B．有最大值C．是增函數(shù)D．是減函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

9．設(shè)函數(shù)f（0）x=sinx，定義f（1）x=f′[f（0）（x）]，f（2）（x）=f′[f（1）（x）]，…，f（n）（x）=f′[f（n-1）（x）]，則f（1）（150）+f（2）（150）+f（3）（150）+…+f（2017）（150）的值是（　�。�
A．$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$B．$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$C．0D．1

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14．已知函數(shù)f（x）=cosx•sin$（{x+\frac{π}{3}}）$-$\sqrt{3}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）單調(diào)增區(qū)間；
（3）求f（x）對(duì)稱中心．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

1．在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，則相似三角形共有（　�。�
A．0對(duì)B．1對(duì)C．2對(duì)D．3對(duì)

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11．證明：（1）求證：sinθ（1+tanθ）+cosθ•（1+$\frac{1}{tanθ}$）=$\frac{1}{sinθ}$+$\frac{1}{cosθ}$.$（2）證明：\frac{tanx×sinx}{tanx-sinx}=\frac{tanx+sinx}{tanx×sinx}$．

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18．設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時(shí)間為T，T只與道路暢通狀況有關(guān)，對(duì)其容量為200的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：
T（分鐘）25303540
頻數(shù)（次）40608020
（1）求T的分布列與數(shù)學(xué)期望ET；
（2）唐教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個(gè)50分鐘的講座，結(jié)束后立即返回老校區(qū)，求唐教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過120分鐘的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos2x-a在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值為2．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（2）設(shè)$α，β∈（{0，\frac{π}{2}}），f（{\frac{1}{2}α+\frac{π}{12}}）=\frac{10}{13}，f（{\frac{1}{2}β+\frac{π}{3}}）=\frac{6}{5}$，求sin（α-β）的值．

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16．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為${ρ^2}=\frac{9}{{{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求曲線C的普通方程；
（2）A、B為曲線C上兩個(gè)點(diǎn)，若OA⊥OB，求$\frac{1}{{|OA{|^2}}}+\frac{1}{{|OB{|^2}}}$的值．

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