Question

11．證明：（1）求證：sinθ（1+tanθ）+cosθ•（1+$\frac{1}{tanθ}$）=$\frac{1}{sinθ}$+$\frac{1}{cosθ}$.$（2）證明：\frac{tanx×sinx}{tanx-sinx}=\frac{tanx+sinx}{tanx×sinx}$．

Answer 1

分析 （1）左邊=sinθ（1+$\frac{sinθ}{cosθ}$）+cosθ•（1+$\frac{cosθ}{sinθ}$）=sinθ+$\frac{si{n}^{2}θ}{cosθ}$+cosθ+$\frac{co{s}^{2}θ}{sinθ}$，重新組合利用平方關(guān)系即可得出．
（2）由tan²x-sin²x=tan²x-（tanxcosx）²=tan²x（1-cos²x）=tan²xsin²x，進而證明結(jié)論．

解答 證明：（1）證明：左邊=sinθ（1+$\frac{sinθ}{cosθ}$）+cosθ•（1+$\frac{cosθ}{sinθ}$）
=sinθ+$\frac{si{n}^{2}θ}{cosθ}$+cosθ+$\frac{co{s}^{2}θ}{sinθ}$=（sinθ+$\frac{co{s}^{2}θ}{sinθ}$）+（$\frac{si{n}^{2}θ}{cosθ}$+cosθ）=$\frac{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}{sinθ}$+$\frac{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}{cosθ}$=$\frac{1}{sinθ}$+$\frac{1}{cosθ}$=右邊，
∴原式成立．
（2）∵tan²x-sin²x=tan²x-（tanxcosx）²=tan²x（1-cos²x）=tan²xsin²x，
∴$\frac{tanxsinx}{tanx-sinx}$=$\frac{tanx+sinx}{tanxsinx}$．

點評 本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．